احتمال جفت آمدن با دو تاس سالم یک‌ششم است؛ اما احتمال اینکه دست‌کم یکی از تاس‌ها عدد ۶ باشد، یازده سی‌وششم است. این دو سؤال شبیه به نظر می‌رسند ولی رویداد متفاوتی را می‌شمارند. برای تصمیم بهتر در تخته نرد باید دقیق بدانی چه چیزی را حساب می‌کنی: یک عدد، یک مجموع یا یک حرکت قانونی روی صفحه.
چرا ۳۶ حالت داریم؟
یک تاس را قرمز و دیگری را سفید تصور کن. هرکدام شش نتیجه دارند، پس تعداد جفت‌های ممکن ۶ ضرب‌در ۶، برابر ۳۶ است. نتیجه قرمز ۲ و سفید ۵ با قرمز ۵ و سفید ۲ دو حالت جداست، هرچند برای بسیاری از حرکت‌ها اثر مشابه دارند.
این محاسبه با فرض تاس‌های سالم و مستقل انجام می‌شود. از چند پرتاب کوتاه نمی‌توان نتیجه گرفت تاس حتماً دست‌کاری شده یا یک عدد قرار است در نوبت بعد جبران شود. جدول احتمال، سهم حالت‌ها را در مدل مشخص توضیح می‌دهد؛ وعده نتیجه پرتاب بعدی نیست.
جدول مجموع دو تاس
| مجموع | تعداد حالت از ۳۶ | احتمال تقریبی |
|---|---|---|
| ۲ | ۱ | ۲٫۸ درصد |
| ۳ | ۲ | ۵٫۶ درصد |
| ۴ | ۳ | ۸٫۳ درصد |
| ۵ | ۴ | ۱۱٫۱ درصد |
| ۶ | ۵ | ۱۳٫۹ درصد |
| ۷ | ۶ | ۱۶٫۷ درصد |
| ۸ | ۵ | ۱۳٫۹ درصد |
| ۹ | ۴ | ۱۱٫۱ درصد |
| ۱۰ | ۳ | ۸٫۳ درصد |
| ۱۱ | ۲ | ۵٫۶ درصد |
| ۱۲ | ۱ | ۲٫۸ درصد |
برای مجموع ۷، حالت‌های ۱ و ۶، ۲ و ۵ و ۳ و ۴ داریم و هرکدام دو ترتیب دارند. برای مجموع ۱۲ فقط ۶ و ۶ وجود دارد. پس برابر دانستن احتمال همه مجموع‌ها اشتباه است.
احتمال جفت و یک جفت مشخص
جفت‌ها عبارت‌اند از ۱ و ۱ تا ۶ و ۶؛ شش حالت از ۳۶، یعنی یک‌ششم. اما جفت ۶ فقط یکی از همان ۳۶ حالت است. جمله «جفت شش هم مثل هر جفت دیگری یک‌ششم است» دو سطح متفاوت را قاطی می‌کند.
در تخته نرد جفت چهار حرکت می‌دهد؛ این اثر بازی با احتمال رخ دادن آن فرق دارد. برای مقایسه مسیر مهره‌ها، نتیجه جفت را صرفاً با جمع دو عددش جایگزین نکن. چهار حرکت دوخانه‌ای می‌تواند نقاط میانی بیشتری را درگیر کند.
احتمال دست‌کم یک ۶
شش حالت داریم که تاس اول ۶ است و شش حالت که تاس دوم ۶ است. حالت ۶ و ۶ در هر دو فهرست آمده؛ یک بار کمش می‌کنیم و به یازده حالت می‌رسیم. نتیجه ۱۱ تقسیم بر ۳۶، حدود ۳۰٫۶ درصد است.
راه دوم این است که هیچ ۶ نیاید: هر تاس پنج نتیجه غیرشش دارد، یعنی ۲۵ حالت. از ۳۶ حالت کل که کم کنیم، همان یازده باقی می‌ماند. این روش برای «دست‌کم یک» رویدادها اغلب محاسبه را ساده‌تر می‌کند.
چرا احتمال مجموع، احتمال زدن مهره نیست؟
فرض کن یک مهره تک در فاصله پنج‌خانه‌ای قرار دارد. زدن آن ممکن است با تاس مستقیم ۵، ترکیب ۲ و ۳، ترکیب ۱ و ۴ یا بعضی حرکت‌های جفت ممکن شود؛ اما خانه‌های میانی می‌توانند بسته باشند و ترتیب حرکت اهمیت داشته باشد.
بنابراین جدول مجموع به‌تنهایی جدول احتمال زدن نیست. باید هر حالت تاس را روی همان صفحه بررسی کنی و ببینی حداقل یک ترتیب قانونی برای زدن وجود دارد یا نه. یک حالت را که از دو مسیر می‌زند دوبار حساب نکن. برای فهم فاصله‌ها، شمارش پیپ را نیز بخوان.
تمرین با جواب
احتمال مجموع زوج چقدر است؟ دو تاس باید هر دو فرد یا هر دو زوج باشند؛ ۹ حالت فرد با فرد و ۹ حالت زوج با زوج، مجموعاً ۱۸ از ۳۶ یا نصف.
احتمال حداقل یک عدد ۱ در دو پرتاب پیاپی یک تاس چقدر است؟ باز هم ۱۱ از ۳۶، با فرض استقلال. اگر پنج بار شش نیامده، احتمال شش در پرتاب بعدی یک تاس سالم همچنان یک‌ششم است؛ سابقه، تاس را بدهکار نمی‌کند.
سوال‌های پرتکرار
آیا همیشه باید حرکت با احتمال بیشتر را انتخاب کنم؟
خیر؛ پیامد هم مهم است. احتمال کوچک از دست دادن یک مهره حساس می‌تواند از احتمال بزرگ یک عقب‌افتادگی کم‌اهمیت مهم‌تر باشد. تعداد پیپ، خانه‌های بسته و وضعیت مسابقه را کنار احتمال ببین.
برای تمرین لازم است صدها بار تاس بریزم؟
می‌توانی جدول شش‌درشش بسازی و هر حالت را دقیقاً یک بار بررسی کنی. این روش برای شمارش نظری از یک نمونه تصادفی کوتاه روشن‌تر است.
این محاسبه برد را تضمین می‌کند؟
خیر. در تخته نرد گیمریو یا بازی حضوری، محاسبه به مقایسه تصمیم‌ها کمک می‌کند. راهبرد کلی و مدیریت مهره‌ها را در راهنمای استراتژی تخته نرد دنبال کن.